21. Sayı
Bir Giritli "bütün Giritliler yalancıdır" demiş. Bu Giritli doğru mu
söylüyor yalan mı? Matematikçilerin matematiği sevdirmek ve "matematiksel
düşünce"nin ne olduğunu kavratabilmek için en çok başvurdukları, en
eğlenceli matematik konusu, paradokslardır.
Matematiğin bu sevimli konusuna şöyle bir örnek verilebilir:
Fransa'nın ünlü hukukçularından biri on kadar öğrenciye özel öğretim vermeye
başlar. Fakat bu özel öğretim belli bir ücrete tabidir. Ücretin yarısı
öğrencilerden öğretimin başında alınacak, kalan yarısı ise öğretimin sonunda
mezun olan öğrencilerin kazandıkları ilk davadan aldıkları para ile ödenecektir.
Öğrenciler eğitimlerini tamamlayıp diplomalarını aldıktan sonra avukatlık
mesleğini icraya başlarlar. Sırayla her biri kazandıkları ilk davadan aldıkları
ücretle borçlarını öder. Bir öğrenci hariç. "Bu çocuk ya dava kazanamıyor
ya da kaba tabirle paranın üzerine yatmaya bakıyor" şeklinde düşünmeye
başlayan eski kurt, kendinden emin, oturup acemi avukata bir mektup yazar. "Sevgili
öğrencim, tarafımdan aldığın eğitim sonucunda şimdiye kadar mutlaka bir dava
kazanmış olmalısın. Aksi takdirde hukuk bilgimden ve kariyerimden şüpheye düşmem
gerekirdi. Herhangi bir davayı kazanmış olduğuna göre aramızda yaptığımız
anlaşma gereğince, eğitim ücretinin kalan kısmını şimdiye kadar bana ödemeliydin.
Senin kasıtlı olarak parayı göndermemenden dolayı hukuki bir sorunla karşı
karşıyayım. Bunun bir dava konusu olacağı gayet açık. Sonucu ise daha baştan
belli. Şöyle ki; sana karşı açacağım davayı kazanırsam hukuk kuralları
gereğince bana parayı ödeyeceksin. Yok eğer davayı kaybedersem bu durumda sen
kazanmış olacağın için aramızda yaptığımız eğitim anlaşması gereğince yine
parayı bana ödemek zorunda kalacaksın." Mektubu alan "acemi" öğrenci
hocasına ne kadar iyi bir eğitim aldığını kanıtlar. "Sevgili hocam. Buraya
gelir de bana dava açıp davayı kaybederseniz hukuk kurallarına göre size parayı
ödemem, yok davayı kazanırsanız ben hala bir dava kazanamamış olduğum için
aramızda yaptığımız anlaşma gereğince parayı yine size ödeyemem".
Bu hikaye tam bir paradoksu ifade etmese de aynı mantıkla biraz daha mizahi bir dille
ifade edilmiştir. Metin üzerinde biraz düşününce kim haklı sorusuna nasıl bir
cevap verebiliriz? İşte bir örnek daha:
Köyün birinde bir berber varmış. Bu berber, o köyde kendini traş etmeyen herkesi
traş edermiş, kendini traş edenleriyse traş etmezmiş. Soru şu: Bu berber kendini
traş eder mi, etmez mi? Kendini traş etmezse, kendini traş etmeyen herkesi traş
ettiğinden, kendini traş etmeli. Aksi halde kendini traş edenleri traş etmediğinden,
kendini traş etmemeli.
Ali Nesin (Matematik Dünyası Dergisi, Haziran 93) in paradokslarından birini soralım:
Yamyamlar bir mantıkçıyı yakalarlar ve şöyle derler mantıkçıya:
- Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz.
Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış
yanıtlarsa kızartırız.
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya bir soru sorarlar. Mantıkçı bir süre
düşündükten sonra soruyu yanıtlar. Yanıtı duyan yamyamlar ne yapacaklarını
şaşırırlar. Yanıt öyle bir yanıttır ki yamyamlar mantıkçıyı ne
haşlayabilirler, ne de kızartabilirler. Yamyamlar mantıkçıya ne sormuşlardır ve
mantıkçı soruya ne yanıt vermiştir?
Yamyamlar mantıkçıya şu soruyu sormuşlardır:
- Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?
Mantıkçı şöyle yanıtlamıştır:
- Kızartacaksınız!
Bu soru ve yanıtla, mantıkçı ne haşlanır, ne de kızartılır. Biz soruyu da
cevabını da verdik. Siz "niye" sini bulun.
Bu paradokslar nasıl çözülür? "Çelişkiler" nasıl halledilebilir?
Örneklerini arttırabileceğimiz paradokslar herkese ilginç, çoğu kez de anlamsız
gelebilir. Fakat eğlenceli olduklarını kimse inkar edemez.
Bildiğim kadarıyla Türkiye'de sadece birkaç kişi matematiği sevdirmek amacıyla
kitap yazıyor. Benim bu konuda ilk okuduğum matematikçi ise Ali Nesin; Matematik ve
Korku. Ali Nesin'i anarken Nazif Tepedenlioğlu'nu da hatırlamak gerekir. Kim Korkar
Matematikten isimli kitabı unutamadığım kitaplardan. Bu çalışmaların ortak
özellikleri matematiği sevimli kımaları ve ulaşılmaz olmadığını
kanıtlamalarıdır. Matematik, çocukluğumuzdan beri çok önemli olduğu söylenen bir
derstir. Öğrenciler, matematik dersinden geçer not almayı, liseden mezun olmanın,
daha sonra da üniversiteye girebilmenin bir koşulu olarak görür. Öyle ki, okulda
sınavlardan yüz üzerinden elli almak oldukça başarılı bir durumu ifade ederken,
yetmiş/seksen almak inanılmaz bir sonuç olarak kabul ediliyor. Hele arada bir tam not
alan öğrenci büyük olasılıkla ya kopya çekmiş ya da tüm defteri ezberlemiş
olmalı diye düşünülür. Çünkü "matematiği anlamak çok zordur", bunun
için "normalden daha üstün bir zekaya ya da matematik zekasına sahip olmak
gerekir" gibi kalıplaşmış düşünceler hakimdir.
Üniversiteye hazırlanan lise öğrencilerine matematik hakkındaki düşüncelerini
sorarsanız çoğunluğunun matematiği hiç sevmediklerini, hatta nefret ettiklerini,
çünkü bir sürü formülü ezberliyemediklerini ve başarılı olamadıklarını
söyleyeceklerdir. Azınlıktaki ikinci bir grubun da matematiğin çok eğlenceli
olduğunu söylemeleri, matematiğin ne işe yaradığını bildiklerinden değil,
matematik sorusu çözmenin hazzını keşfetmelerindendir.
Bu durum sadece orta öğretimde değil, üniversitede de aynıdır. Yüksek öğretim
programında, matematik mühendisliği gibi bölümlere yerleşen öğrenci için bile
matematik, ne işe yaradığı bilinmeyen fakat mezun olduğunda öğretmen, bilgisayar
programcısı veya sistem analisti olmalarını sağlayan etiketten başka bir şey
değildir. Matematiğin bilim dalı olmasıyla övünülürken, okulda kalıp
araştırmacı/matematikçi olmak fazlaca tercih edilmez.
Eminim ki aramızdan birçok kişi "okullarda matematiği sevdirecek aynı zamanda
yaşadığımız hayatla ilişkisine dair ipuçları verecek kitaplar niye
okutulmuyor?" diye düşünmektedir. Üstelik bu konu üzerine bir çok dergi ve
kitap yayınlandığı halde... Bu çalışmalar orta ve yüksek öğretimde
değerlendirilmemekte, tanıtımı dahi yapılmamaktadır. Şu an mevcut olan eğitim
sistemi, öğrencileri hem matematikten soğutmakta hem de korkulu rüya haline
getirmektedir. Gerek öğretmenlerin tutumu, gerek devletin eğitime yeteri kadar imkan
tanımaması, durumu çözümsüz hale sokmaktadır. Okullarda, araştırmacı yönü
geliştirecek bir eğitim olmadığı gibi, sınıfların alabildiğine kalabalık
olması, yeterli ücret verilmediği için öğretmenliğin meslek olarak tercih
edilmemesi, tercih edilse dahi öğretmenin verimli çalışabileceği şartların
sağlanmaması, öğretmen başına düşen öğrenci sayısının çok fazla olması,
okul, derslik, laboratuar, kütüphane, jimnastik salonu gibi mekanların yaratılmaması
eğitim kalitesini düşürmektedir. Ayrıca müfredatın ve ders programlarının vakit
kazandıracak şekilde düzenlenmemesi bir yığın gereksiz bilgiyle öğrencinin
yüklenmesi, öğrencide yılgınlık yaratmakta, ödevlerle başa çıkamamakta, dersleri
sevebilecekken korkup kaçmasına neden olmaktadır. Tüm bu nedenler, ezberci eğitimi
dayatırken, şabloncu mantıkla düşünmek zorunlu hale gelmekte, genç yaşlarında
insanları bir çemberin içine yerleştirmektedir. Biz bu mantıkla "ders"lerle
yaşam arasına çekilen kalın çizgiyi silmeye çalışalım ve matematiğin gündelik
hayatla ilişkisini, gerçek bir örnekle ifade edelim.
Rönesans öncesi Avrupanın önemli matematikçilerinden biri de Pisa'lı Leonardo
Fibonacci'dir. O dönemde Avrupalılar Roma rakamları ile işlem yaparlarken, Hintliler
Roma rakamlarına göre daha kolay bir ondalık sayı sistemini geliştirmişler ve onluk
düzendeki rakamları (0,1,2,3,...,9) kullanmışlardır. Bu sayede ticari işlemler daha
hızlı yapılabilmiş, gerekli zaman tasarrufu sağlanabilmiştir. Para değişimi, kar
hesabı, faiz, miras bölüşümü, muhasebe problemleri doğru olarak
hesaplanabilmiştir. Fibonacci o dönem "çörkü"yü (Roma rakamları ile hesap
yapmanın zor, belki de imkansız olması, dört işlemin çörkü denen hesap aletiyle
yapılmasını gerektiriyordu) kullanmayı bırakıp yerine Hint sayılarını öğrenmeye
başladıktan sonra, kendine şöyle bir soru sorar: Dört yanı duvarla çevrili bir
yere, yeni doğmuş bir çift tavşan konmuştur. Tavşanların erginleşmesi bir ay
sürüyor ve bu bir ayın sonunda dişi tavşan hamile kalıyor. Hamilelik dönemi tam bir
ay sürüyor ve her ay tekrarlıyor. Hamilelik sonucunda daima bir çift tavşan (bir
dişi bir erkek olmak üzere) doğuyor. Tavşanların ölmediği varsayılırsa, bir yıl
sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?
Fibonacci bu soruyu kendine sorarak, dört işlemini, Hint sayılarını kullanarak
geliştirmeyi hedeflemiştir. Sorunun sonucu ise bugün hala bizleri bile
şaşırtmaktadır. Gereken hesap yapılırsa tavşan çiftleri aylara göre şöyle
dağılıyor: (Y: yavru tavşan çifti, E: erişkin tavşan çifti, T: toplam tavşan
çifti)
1.ay 2.ay 3.ay 4.ay 5.ay 6.ay 7.ay ............... 12.ay
1Y 1E 1E 2E 3E 5E 8E 89E
+ 1Y 1Y 2Y 3Y 5Y 55Y
1T, 1T, 2T, 3T, 5T, 8T, 13T, ............ 144T
Yani her ay bir önceki ayın erişkin tavşan çifti sayısı kadar yavru çift
tavşan ürerken, toplam tavşan çifti sayısı kadar erişkin tavşan çifti olacaktır.
Sonuç olarak toplam tavşan çiftlerinin oluşturdukları sayı dizisi
(1,1,2,3,5,8,13,......,144...) Fibonacci'nin ismiyle anılmaktadır. Bu dizinin terimleri
arasında o kadar çok özellik bulunmuş ki, bu dizi hakkında yeni bir özellik
keşfedildiğinde kimse şaşırmıyor. Dizinin özelliklerinden biri de dizinin iki
ardışık sayısının birbirine oranının??=1,61... sayısına yaklaşması. ? (=fi
olarak okunuyor) sayısı çok daha önceleri Yunanlılar tarafından bilinen bir
sabittir. Aynı ? (=pi) sabiti gibi. Bu sayıyı zamanının bir çok ressamı,
heykeltıraşı, mimarı kullanmıştır. Özellikle ressamlar bu oranın "ideal
oran" olduğunu söylemişlerdir. Büyük heykeltraş Fidyas da bu sayıyı
kullanmış, ismi de bu harfle başladığı için bu sayıya ? adı verilmiştir.
Çeşitli sanat yapıtlarında ilk göze çarpan, genelde bu orana sadık kalınarak
yapılmış kompozisyonlardır. Öne çıkması istenilen ana temayı temsil eden
figürlerin bu oranda yapılmış olması sizce rastlantı mı? Bu oran mekanlarda olduğu
gibi kapı ve pencerelerde de kullanılmıştır. Bunun nedeni; en boy arasındaki oranın
??ye, insan gözünün en iyi algılayabildiği orana eşit olmasındandır. "Altın
oran" olarak da anılan ? sayısını sıklıkla kullanan sanatçılar arasında
Salvador Dali'yi de saymak mümkün.
Ayrıca Fibonacci dizisinin artışının, ağaç dallarının artışı ile benzer
oluşu, yaprakların çoğalmasının yine bu diziye endekslenmiş gibi artması nasıl
açıklanabilir ki?
Bu soruya cevap vermem bekleniyor. Ama ben cevabı bilmiyorum. Cevap bulunabilir mi ? Bunu
da bilmiyorum. Yanlız bildiğim bir şey var ki hiçbir soru, hiçbir cevap masa
başında saatlerce düşünülerek oluşturulmuyor. Maalesef genel kanı ise
matematikçilerin veya bilim adamlarının ve bilim kadınlarının dertleri, bu tür
sorular yaratmak ve bunlara cevap aramaktır şeklinde algılanıyor. Oysa tam tersine, bu
sorular hayata kendini dayatıyor. Ticaretin gelişimi, değerlerin bölüşümü gibi
nedenler nasıl dört işlemi kolaylaştıracak rakamları bulmayı dayatıyorsa, nehir
yataklarının değişmesi de arazi sınırlarının yeniden bölüşümü için alan
hesabını dayatıyor. Dolayısıyla matematiğin hayatın içinden çıktığına nasıl
itiraz edebiliriz?
Matematik bilimi, belli bir düzeye ulaştıktan sonra, yalnızca uzmanların kapsamında
olan bir meta haline gelmiştir. Bilgi tekeli başlamış, bu birikimi elinde tutanlar
için bir güç haline dönüşmüştür.
Günümüzde uzmanlaşmanın artması, kaçınılmaz olarak bilimlerin de birbirinden
uzaklaşmasına/yabancılaşmasına neden olmuştur. Bunun asıl nedeni, pratik ile
teorinin birleşmemesidir. Örneğin, "X, Y nin iki katının 3 fazlasıdır"
yerine "benim boyum kardeşimin boyunun iki katının 3 cm. fazlasıdır" desek
daha iyi olmaz mıydı? Dili doğru kullanabilmenin önemi tam da bu noktada ortaya
çıkıyor. "X, Y nin iki katının üç fazlasıdır" ile "X, Y nin üç
fazlasının iki katıdır" aynı şey midir? İsterseniz bu iki soruyu etrafınızda
temel matematik eğitimi almış kişilere sorun, iki soruya da aynı cevabın verilmiş
olması mümkündür. Oysa öznenin ne olduğu sorusu burada önem taşır. İlk sorunun
öznesi 2Y, ikinci sorunun öznesi Y+3 tür. 2Y+3 ? 2(Y+3)
Dilin verimli ve doğru kullanımı matematiğin anlaşılmasını kolaylaştırırken,
matematikteki düşünce sırası (algoritmik düşünce sistemi), analiz yeteneğini
geliştirecek, bilimsel metodu kullanmayı öğretecektir. Matematik ve edebiyatın ortak
yönü aynı kaynaktan beslenmeleridir. Bu kaynak insan yaşamıdır. Edebiyat ve sanat
kültürüne sahip bilim adamlarının sosyal ilişkilerinde daha aktif oldukları, fen
bilimlerinden en az birini biraz bilen edebiyatçıların da daha mantıklı
düşündükleri bir gerçektir. "Alice Harikalar Diyarında" ve
"Tılsımlı Ayna" gibi eserlerin yazarının, Lewis Carroll takma adıyla
bilinen İngiliz yazar Charles Lutwidge Dodgson'ın, bir matematikçi olması bunun bir
örneğidir.
Fizik ile matematiğin, matematik ile kimyanın, birlikte hareket etmesi herkese daha
anlaşılabilir görünse de, müzik ile matematik arasındaki ilişki de farklı
değildir. Bestelerdeki nota dizeleri, matematikteki belirli serilere denk gelmektedir.
Müzikteki sekizli ve dörtlü aralıklardan oluşan ses dizilerinin, Sisamlı ünlü
matematikçi ve filozof Pythagoras'ın adıyla (Pythagoras gamı) anılması bu ilişkinin
kanıtı gibi görünüyor. Pythagoras (İ.Ö.5-6) yaşadığı çağda müziksel uyumu
matematik formülleriyle dile getirmiş, farklı büyüklükteki çanları kullanarak bir
skala düzeni yaratmıştır. İnsan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans
oranındaki majör 6'lı olduğu biliniyor. Bu oranın yine daha önce Fibonacci dizisinde
bahsettiğimiz altın orana çok yakın olması ilginç bir örnektir. Matematikçi
F.Fourier, müzik aletlerinin ve doğadaki seslerin matematiksel ifadelerle
tanımlanabileceğini söylemiş ve bunun periyodik sinüs fonksiyonları ile
gösterilebileceğini ispatlamıştır. Kuyruklu piyanodaki eğri kenarın, üstel bir
fonksiyon grafiğine denk düşmesi, piyanonun yapımında bu eğriye ne kadar sadık
kalınırsa o kadar iyi bir ses kalitesine ulaşılması, seçilen ağacın cinsi kadar
önemlidir.
Günümüzde tercih edilen mesleklerden, işletme ve iktisat alanlarında, istatistik,
olasılık ve analiz hesabının önemi bilinen bir gerçektir. Bilgisayar çağında
yaşadığımız düşünülürse bu örnekleri arttırmak mümkün.
Bilimler arasında yaşanan parçalanma, herhangi bir bilim dalının kendi içinde de
yaşanmaktadır. Biyolojinin bitki bilimi, fosil bilimi, genetik bilimi gibi bölümlere
ayrışması, matematiğin kabaca uygulamalı matematik ve saf matematik olarak ikiye
bölünmesi, uzmanlaşmayı ve yabancılaşmayı getiriyor. Okullarda matematik ile
geometri öğretmenlerinin farklı branş öğretmenleri sayılması, matematik ile
geometrinin birbirini tamamladığı görmezden gelinirken, kişiyi geliştirici bir unsur
gibi gösteriliyor. Fabrikalardaki emeğin bölünmesi de zamanında aynı olumlu
yaklaşımla değerlendirilmiştir.
Yaşadığımız toplumda Aristoların, Eulerlerin, Pythagorasların çıkmaması benzer
yetenekte ve kapasitede insanların olmamasından değil, bu kişilerin bizzat
kendilerinin ve ürünlerinin -üstelik- "kişisel tercih"leriyle, uluslararası
şirketler tarafından gasp edilmesindendir. Günümüzde teknolojik icatlar için grup
çalışmaları gerekli görülürken, bilgi tekeli bu grupları finanse eden
uluslararası şirketlere ait oluyor. Alternatif enerji kaynakları ile ilgili kapsamlı
araştırmaları, dünyanın en güçlü şirketleri olan uluslararası petrol devlerinin
finanse etmesi ve telif haklarını ellerinde bulundurmaları tesadüf mü? Gelecekte
kullanılacak enerji kaynaklarının tekel altında olacağı ve denetlenemeyeceği
şimdiden çok açık değil mi? Bugün dünyadaki petrol rezervleri tüketilmeden yeni
teknolojik gelişmeler kullanılamıyorsa, tek nedeni vardır; "kâr".
Sorulması gereken soru, yüzyıllardır süren bu bilgi birikiminin nasıl ve niçin
kullanıldığıdır? Güncel bir konu olan genetik alanındaki kopyalama
çalışmalarının, nasıl ve kimin denetimi altında yürütüldüğü bilinemezken,
bizler gelişmeleri sadece medyanın spekülatif haberleri ile öğrenebiliyoruz.
İnsanlık için büyük aşamaların kaydedildiği söylenirken yaşantımızda bu
ilerlemelerin yansımalarını göremiyoruz. Yıllardır devam eden kansere karşı
çalışmalar hala bir sonuç vermedi mi? Tedavi edici bir yöntemin gelişememiş
olması, piyasaya sürülen ilaçların kendilerini finanse etmesi gibi bir
"zorunluluk" taşımalarından dolayı mı? Sağlık gibi ulaşım için de ucuz
ve pratik yöntemler bulunabilir. Mevcut teknoloji, zamandan ve ekonomiden tasarruf
edilebilecek şekilde kulanılabilir. Hava kirliliğini oluşturan nedenlerden biri olan
egzoz dumanını solumaya daha ne kadar devam edeceğiz? Bugün teknolojik ilerlemeler
sayesinde röntgen filmi çöpe giderken ses dalgaları ile organların kesitlerine kadar
görüntülenmesi mümkün hale geldi. Diğer yandan, bu teknolojinin denizaltılarında
çok uzun zamandan beri kullanıldığını bilmek, bu gelişmenin insan hayatı için
şimdiye kadar niye uygulanmadığını düşündürüyor. Sizce tüm bu sorular
yaşadığımız sistemde bir paradoksu oluşturmuyor mu?